线性代数综合作业 1. (单选题) 设 A 为 3 阶矩阵,|A|=1,则|-2|=( )(本题1.0分) A、 -8 B、 -2 C、 2 D、 8 标准答案：A 2. (单选题) 设矩阵 A=, B=(1,1),则 AB=( )(本题1.0分) A、 0 B、 (1,-1) C、 D、 标准
线性代数综合作业
1. (单选题) 设 A 为 3 阶矩阵,|A|=1,则|-2|=( )(本题1.0分)
A、 -8
B、 -2
C、 2
D、 8
标准答案：A
2. (单选题) 设矩阵 A=, B=(1,1),则 AB=( )(本题1.0分)
A、 0
B、 (1,-1)
C、
D、
标准答案：D
3. (单选题) 设 A 为 n 阶对称矩阵,B 为 n 阶反对称矩阵,则下列矩阵中为反对称矩阵的是( )(本题1.0分)
A、 AB-BA
B、 AB+BA
C、 AB
D、 BA
标准答案：B
4. (单选题) 设矩阵 A 的伴随矩阵 A*= , 则 = ( )(本题1.0分)
A、
B、
C、
D、
标准答案：C
5. (单选题) 下列矩阵中不是初等矩阵的是( )(本题1.0分)
A、
B、
C、
D、
标准答案：A
6. (单选题) 设 A,B 均为 n 阶可逆矩阵,则必有( )(本题1.0分)
A、 A+B 可逆
B、 AB 可逆
C、 A-B可逆
D、 AB+BA 可逆
标准答案：B
7. (单选题) 设向量组α1=(1,2),α2=(0,2),β=(4,2),则 ( )(本题1.0分)
A、 α1,α2,β线性无关
B、 β不能由α1,α2线性表示
C、 β可由α1,α2线性表示,但表示法不惟一
D、 β可由α1,α2线性表示,且表示法惟一
标准答案：D
8. (单选题) 设 A 为 3 阶实对称矩阵,A 的全部特征值为 0,1,1,则齐次线性方程组(E-A)x=0 的基础解系所含解向量的个数为( )(本题1.0分)
A、 0
B、 1
C、 2
D、 3
标准答案：C
9. (单选题) 设齐次线性方程组有非零解,则 为( )(本题1.0分)
A、 -1
B、 0
C、 1
D、 2
标准答案：A
10. (单选题) 设二次型 f(x)=Ax 正定,则下列结论中正确的是( )(本题1.0分)
A、 对任意 n 维列向量 x,xTAx 都大于零
B、 f 的标准形的系数都大于或等于零
C、 A 的特征值都大于零
D、 A 的所有子式都大于零
标准答案：C
11. (单选题) 设 3 阶方阵 A=(α1,α2,α3),其中αi(i=1,2,3)为 A 的列向量,若|B|=|(α1+2α2,α2,α3)|=6,则|A|=( )(本题1.0分)
A、 -12
B、 -6
C、 6
D、 12
标准答案：C
12. (单选题) 计算行列式=( )(本题1.0分)
A、 -180
B、 -120
C、 120
D、 180
标准答案：D
13. (单选题) 3.若 A 为 3 阶方阵且=2,则|2A|=( )
设 A,B 都是 3 阶矩阵,且|A|=2,B=-2E,则|A-1B|=( )(本题1.0分)
A、
B、 2
C、 4
D、 8
标准答案：C
14. (单选题) 设 A,B 都是 3 阶矩阵,且|A|=2,B=-2E,则|A-1B|=( )(本题1.0分)
A、 1
B、 -1
C、 4
D、 -4
标准答案：D
15. (单选题) 若 A 为 6 阶方阵,齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系中解向量的个数为 2,则 r( )=( )(本题1.0分)
A、 2
B、 3
C、 4
D、 5
标准答案：C
16. (单选题) 6.设 A 、 B 为同阶方阵,且 r( )=r( ),则( )(本题1.0分)
A、 A与B相似
B、 |A|=|B|
C、 A与B等价
D、 A与B合同
标准答案：C
17. (单选题) 设 A 为 3 阶方阵,其特征值分别为 2,1,0 则|A+2E|=( )(本题1.0分)
A、 0
B、 2
C、 3
D、 24
标准答案：D
18. (单选题) 若 A、B 相似,则下列说法错误的是( )(本题1.0分)
A、 A与B等价
B、 A与B合同
C、 |A|=|B|
D、 A与B有相同特征值
标准答案：B
19. (单选题) 若向量α=(1,-2,1)与β=(2,3,t)正交,则 t=( )(本题1.0分)
A、 -2
B、 0
C、 2
D、 4
标准答案：D
20. (单选题) 设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值分别为 2,1,0,则( )(本题1.0分)
A、 A正定
B、 A半正定
C、 A负定
D、 A半负定
标准答案：B
21. (单选题) 已知 2 阶行列式=m,=n,则 =( )(本题1.0分)
A、 m-n
B、 n-m
C、 m+n
D、 -(m+n)
标准答案：B
22. (单选题) 设 A,B,C 均为 n 阶方阵,AB=BA,AC=CA,则 ABC=( )(本题1.0分)
A、 ACB
B、 CAB
C、 CBA
D、 BCA
标准答案：D
23. (单选题) 设 A 为 3 阶方阵,B 为 4 阶方阵,且行列式|A|=1,|B|=-2,则行列式||B|A|之值为( )(本题1.0分)
A、 -8
B、 -2
C、 2
D、 8
标准答案：A
24. (单选题) 已知 A=, B= P=, Q=, 则 B=( )(本题1.0分)
A、 PA
B、 AP
C、 QA
D、 AQ
标准答案：B
25. (单选题) 已知 A 是一个 3×4 矩阵,下列命题中正确的是( )(本题1.0分)
A、 若矩阵 A 中所有 3 阶子式都为 0，则秩（A）=2
B、 若 A 中存在 2 阶子式不为 0，则秩（A）=2
C、 若秩（A）=2，则 A 中所有 3 阶子式都为 0
D、 若秩（A）=2，则 A 中所有 2 阶子式都不为 0
标准答案：C
26. (单选题) 下列命题中错误的是( )(本题1.0分)
A、 只含有一个零向量的向量组线性相关
B、 由 3 个 2 维向量组成的向量组线性相关
C、 由一个非零向量组成的向量组线性相关
D、 两个成比例的向量组成的向量组线性相关
标准答案：C
27. (单选题) 已知向量组α1,α2,α3线性无关,α1,α2,α3,β线性相关,则( )(本题1.0分)
A、 α1必能由α2,α3,β线性表出
B、 α2必能由α1,α3,β线性表出
C、 α3必能由α1,α2,β线性表出
D、 β必能由α1,α2,α3线性表出
标准答案：D
28. (单选题) 设 A 为 m×n 矩阵,m≠n,则齐次线性方程组 Ax=0 只有零解的充分必要条件是 A 的秩( )(本题1.0分)
A、 小于 m
B、 等于 m
C、 小于 n
D、 等于 n
标准答案：D
29. (单选题) 设 A 为可逆矩阵,则与 A 必有相同特征值的矩阵为( )(本题1.0分)
A、
B、
C、
D、
标准答案：A
30. (单选题) 二次型 f(,,)=的正惯性指数为( )(本题1.0分)
A、 0
B、 1
C、 2
D、 3
标准答案：C
31. (单选题) 设行列式 =1,则行列式 =( )(本题1.0分)
A、
B、 1
C、 2
D、
标准答案：A
32. (单选题) 设 A,B,C 为同阶可逆方阵,则=( )(本题1.0分)
A、
B、
C、
D、
标准答案：B
33. (单选题) 设 α 1, α 2, α 3, α 4是 4 维列向量,矩阵 A=( α 1, α 2, α 3, α 4).如果|A|=2,则|-2A|=( )(本题1.0分)
A、 -32
B、 -4
C、 4
D、 32
标准答案：D
34. (单选题) 设 α 1, α 2, α 3, α 4 是三维实向量,则( )(本题1.0分)
A、 α 1, α 2, α 3, α 4一定线性无关
B、 α 1一定可由 α 2, α 3, α 4线性表出
C、 α 1, α 2, α 3, α 4一定线性相关
D、 α 1, α 2, α 3一定线性无关
标准答案：C
35. (单选题) 向量组 α 1=(1,0,0), α 2=(1,1,0), α 3=(1,1,1)的秩为( )(本题1.0分)
A、 1
B、 2
C、 3
D、 4
标准答案：C
36. (单选题) 设 A 是 4×6 矩阵,r( )=2,则齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系中所含向量的个数是( )(本题1.0分)
A、 1
B、 2
C、 3
D、 4
标准答案：D
37. (单选题) 设 A 是 m×n 矩阵,已知 Ax=0 只有零解,则以下结论正确的是( )(本题1.0分)
A、 m≥n
B、 Ax=b（其中 b 是 m 维实向量）必有唯一解
C、 r（A）=m
D、 Ax=0 存在基础解系
标准答案：A
38. (单选题) 设矩阵 A=,则以下向量中是 A 的特征向量的是( )(本题1.0分)
A、
B、
C、
D、
标准答案：A
39. (单选题) 设矩阵 A=的三个特征值分别为 λ 1, λ 2, λ 3,则 λ 1+ λ 2+ λ 3= ( )(本题1.0分)
A、 4
B、 5
C、 6
D、 7
标准答案：B
40. (单选题) 三元二次型 f = 的矩阵为( )(本题1.0分)
A、
B、
C、
D、
标准答案：A
41. (多选题) 设A、B为同阶可逆矩阵,则以下结论错误的是( )(本题6.0分)
A、 |AB|=|BA|
B、 |A+B|=|A|+|B|
C、 (AB)-1=A-1B-1
D、 (A+B)2=A2+2AB+B2
标准答案：BCD
42. (多选题) *2. 下列命题错误的是( )(本题6.0分)
A、 维列向量组可以线性无关
B、 矩阵的初等变换可能改变矩阵的秩
C、 维列向量组必线性相关
D、 若方阵,则可逆。
标准答案：ABD
43. (多选题) 若果3阶矩阵的特征值为-1, 1, 2,则下列命题错误的是 ( )(本题6.0分)
A、 不能对角化
B、
C、 的特征向量线性无关
D、 可对角化
标准答案：AB
44. (多选题) *4.设Ax=b是一非齐次线性方程组,η1,η2是其任意2个解,则下列结论正确的是( )(本题6.0分)
A、 η1+η2是Ax=0的一个解
B、 η1+η2是Ax=b的一个解
C、 η1-η2是Ax=0的一个解
D、 2η1-η2是Ax=b的一个解
标准答案：BCD
45. (多选题) *5.若A、B相似,则下列说法正确的是( )(本题6.0分)
A、 A与B等价
B、 A与B合同
C、 |A|=|B|
D、 A与B有相同特征
标准答案：ACD
46. (问答题) 设向量组α 1=(1,2,3,6),α 2=(1,-1,2,4),α 3=(-1,1,-2,-8),α 4=(1,2,3,2).(本题15.0分)
标准答案：
.
47. (问答题) 设 n 阶矩阵 A 满足 =E,证明 A 的特征值只能是 1 .(本题15.0分)
标准答案：
证 设为A的对应于特征值的特征向量，则有 于是由,得 , 从而 而，所以有
1. (单选题) 设 A 为 3 阶矩阵,|A|=1,则|-2|=( )(本题1.0分)
A、 -8
B、 -2
C、 2
D、 8
标准答案：A
2. (单选题) 设矩阵 A=, B=(1,1),则 AB=( )(本题1.0分)
A、 0
B、 (1,-1)
C、
D、
标准答案：D
3. (单选题) 设 A 为 n 阶对称矩阵,B 为 n 阶反对称矩阵,则下列矩阵中为反对称矩阵的是( )(本题1.0分)
A、 AB-BA
B、 AB+BA
C、 AB
D、 BA
标准答案：B
4. (单选题) 设矩阵 A 的伴随矩阵 A*= , 则 = ( )(本题1.0分)
A、
B、
C、
D、
标准答案：C
5. (单选题) 下列矩阵中不是初等矩阵的是( )(本题1.0分)
A、
B、
C、
D、
标准答案：A
6. (单选题) 设 A,B 均为 n 阶可逆矩阵,则必有( )(本题1.0分)
A、 A+B 可逆
B、 AB 可逆
C、 A-B可逆
D、 AB+BA 可逆
标准答案：B
7. (单选题) 设向量组α1=(1,2),α2=(0,2),β=(4,2),则 ( )(本题1.0分)
A、 α1,α2,β线性无关
B、 β不能由α1,α2线性表示
C、 β可由α1,α2线性表示,但表示法不惟一
D、 β可由α1,α2线性表示,且表示法惟一
标准答案：D
8. (单选题) 设 A 为 3 阶实对称矩阵,A 的全部特征值为 0,1,1,则齐次线性方程组(E-A)x=0 的基础解系所含解向量的个数为( )(本题1.0分)
A、 0
B、 1
C、 2
D、 3
标准答案：C
9. (单选题) 设齐次线性方程组有非零解,则 为( )(本题1.0分)
A、 -1
B、 0
C、 1
D、 2
标准答案：A
10. (单选题) 设二次型 f(x)=Ax 正定,则下列结论中正确的是( )(本题1.0分)
A、 对任意 n 维列向量 x,xTAx 都大于零
B、 f 的标准形的系数都大于或等于零
C、 A 的特征值都大于零
D、 A 的所有子式都大于零
标准答案：C
11. (单选题) 设 3 阶方阵 A=(α1,α2,α3),其中αi(i=1,2,3)为 A 的列向量,若|B|=|(α1+2α2,α2,α3)|=6,则|A|=( )(本题1.0分)
A、 -12
B、 -6
C、 6
D、 12
标准答案：C
12. (单选题) 计算行列式=( )(本题1.0分)
A、 -180
B、 -120
C、 120
D、 180
标准答案：D
13. (单选题) 3.若 A 为 3 阶方阵且=2,则|2A|=( )
设 A,B 都是 3 阶矩阵,且|A|=2,B=-2E,则|A-1B|=( )(本题1.0分)
A、
B、 2
C、 4
D、 8
标准答案：C
14. (单选题) 设 A,B 都是 3 阶矩阵,且|A|=2,B=-2E,则|A-1B|=( )(本题1.0分)
A、 1
B、 -1
C、 4
D、 -4
标准答案：D
15. (单选题) 若 A 为 6 阶方阵,齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系中解向量的个数为 2,则 r( )=( )(本题1.0分)
A、 2
B、 3
C、 4
D、 5
标准答案：C
16. (单选题) 6.设 A 、 B 为同阶方阵,且 r( )=r( ),则( )(本题1.0分)
A、 A与B相似
B、 |A|=|B|
C、 A与B等价
D、 A与B合同
标准答案：C
17. (单选题) 设 A 为 3 阶方阵,其特征值分别为 2,1,0 则|A+2E|=( )(本题1.0分)
A、 0
B、 2
C、 3
D、 24
标准答案：D
18. (单选题) 若 A、B 相似,则下列说法错误的是( )(本题1.0分)
A、 A与B等价
B、 A与B合同
C、 |A|=|B|
D、 A与B有相同特征值
标准答案：B
19. (单选题) 若向量α=(1,-2,1)与β=(2,3,t)正交,则 t=( )(本题1.0分)
A、 -2
B、 0
C、 2
D、 4
标准答案：D
20. (单选题) 设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值分别为 2,1,0,则( )(本题1.0分)
A、 A正定
B、 A半正定
C、 A负定
D、 A半负定
标准答案：B
21. (单选题) 已知 2 阶行列式=m,=n,则 =( )(本题1.0分)
A、 m-n
B、 n-m
C、 m+n
D、 -(m+n)
标准答案：B
22. (单选题) 设 A,B,C 均为 n 阶方阵,AB=BA,AC=CA,则 ABC=( )(本题1.0分)
A、 ACB
B、 CAB
C、 CBA
D、 BCA
标准答案：D
23. (单选题) 设 A 为 3 阶方阵,B 为 4 阶方阵,且行列式|A|=1,|B|=-2,则行列式||B|A|之值为( )(本题1.0分)
A、 -8
B、 -2
C、 2
D、 8
标准答案：A
24. (单选题) 已知 A=, B= P=, Q=, 则 B=( )(本题1.0分)
A、 PA
B、 AP
C、 QA
D、 AQ
标准答案：B
25. (单选题) 已知 A 是一个 3×4 矩阵,下列命题中正确的是( )(本题1.0分)
A、 若矩阵 A 中所有 3 阶子式都为 0，则秩（A）=2
B、 若 A 中存在 2 阶子式不为 0，则秩（A）=2
C、 若秩（A）=2，则 A 中所有 3 阶子式都为 0
D、 若秩（A）=2，则 A 中所有 2 阶子式都不为 0
标准答案：C
26. (单选题) 下列命题中错误的是( )(本题1.0分)
A、 只含有一个零向量的向量组线性相关
B、 由 3 个 2 维向量组成的向量组线性相关
C、 由一个非零向量组成的向量组线性相关
D、 两个成比例的向量组成的向量组线性相关
标准答案：C
27. (单选题) 已知向量组α1,α2,α3线性无关,α1,α2,α3,β线性相关,则( )(本题1.0分)
A、 α1必能由α2,α3,β线性表出
B、 α2必能由α1,α3,β线性表出
C、 α3必能由α1,α2,β线性表出
D、 β必能由α1,α2,α3线性表出
标准答案：D
28. (单选题) 设 A 为 m×n 矩阵,m≠n,则齐次线性方程组 Ax=0 只有零解的充分必要条件是 A 的秩( )(本题1.0分)
A、 小于 m
B、 等于 m
C、 小于 n
D、 等于 n
标准答案：D
29. (单选题) 设 A 为可逆矩阵,则与 A 必有相同特征值的矩阵为( )(本题1.0分)
A、
B、
C、
D、
标准答案：A
30. (单选题) 二次型 f(,,)=的正惯性指数为( )(本题1.0分)
A、 0
B、 1
C、 2
D、 3
标准答案：C
31. (单选题) 设行列式 =1,则行列式 =( )(本题1.0分)
A、
B、 1
C、 2
D、
标准答案：A
32. (单选题) 设 A,B,C 为同阶可逆方阵,则=( )(本题1.0分)
A、
B、
C、
D、
标准答案：B
33. (单选题) 设 α 1, α 2, α 3, α 4是 4 维列向量,矩阵 A=( α 1, α 2, α 3, α 4).如果|A|=2,则|-2A|=( )(本题1.0分)
A、 -32
B、 -4
C、 4
D、 32
标准答案：D
34. (单选题) 设 α 1, α 2, α 3, α 4 是三维实向量,则( )(本题1.0分)
A、 α 1, α 2, α 3, α 4一定线性无关
B、 α 1一定可由 α 2, α 3, α 4线性表出
C、 α 1, α 2, α 3, α 4一定线性相关
D、 α 1, α 2, α 3一定线性无关
标准答案：C
35. (单选题) 向量组 α 1=(1,0,0), α 2=(1,1,0), α 3=(1,1,1)的秩为( )(本题1.0分)
A、 1
B、 2
C、 3
D、 4
标准答案：C
36. (单选题) 设 A 是 4×6 矩阵,r( )=2,则齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系中所含向量的个数是( )(本题1.0分)
A、 1
B、 2
C、 3
D、 4
标准答案：D
37. (单选题) 设 A 是 m×n 矩阵,已知 Ax=0 只有零解,则以下结论正确的是( )(本题1.0分)
A、 m≥n
B、 Ax=b（其中 b 是 m 维实向量）必有唯一解
C、 r（A）=m
D、 Ax=0 存在基础解系
标准答案：A
38. (单选题) 设矩阵 A=,则以下向量中是 A 的特征向量的是( )(本题1.0分)
A、
B、
C、
D、
标准答案：A
39. (单选题) 设矩阵 A=的三个特征值分别为 λ 1, λ 2, λ 3,则 λ 1+ λ 2+ λ 3= ( )(本题1.0分)
A、 4
B、 5
C、 6
D、 7
标准答案：B
40. (单选题) 三元二次型 f = 的矩阵为( )(本题1.0分)
A、
B、
C、
D、
标准答案：A
41. (多选题) 设A、B为同阶可逆矩阵,则以下结论错误的是( )(本题6.0分)
A、 |AB|=|BA|
B、 |A+B|=|A|+|B|
C、 (AB)-1=A-1B-1
D、 (A+B)2=A2+2AB+B2
标准答案：BCD
42. (多选题) *2. 下列命题错误的是( )(本题6.0分)
A、 维列向量组可以线性无关
B、 矩阵的初等变换可能改变矩阵的秩
C、 维列向量组必线性相关
D、 若方阵,则可逆。
标准答案：ABD
43. (多选题) 若果3阶矩阵的特征值为-1, 1, 2,则下列命题错误的是 ( )(本题6.0分)
A、 不能对角化
B、
C、 的特征向量线性无关
D、 可对角化
标准答案：AB
44. (多选题) *4.设Ax=b是一非齐次线性方程组,η1,η2是其任意2个解,则下列结论正确的是( )(本题6.0分)
A、 η1+η2是Ax=0的一个解
B、 η1+η2是Ax=b的一个解
C、 η1-η2是Ax=0的一个解
D、 2η1-η2是Ax=b的一个解
标准答案：BCD
45. (多选题) *5.若A、B相似,则下列说法正确的是( )(本题6.0分)
A、 A与B等价
B、 A与B合同
C、 |A|=|B|
D、 A与B有相同特征
标准答案：ACD
46. (问答题) 设向量组α 1=(1,2,3,6),α 2=(1,-1,2,4),α 3=(-1,1,-2,-8),α 4=(1,2,3,2).(本题15.0分)
标准答案：
.
47. (问答题) 设 n 阶矩阵 A 满足 =E,证明 A 的特征值只能是 1 .(本题15.0分)
标准答案：
证 设为A的对应于特征值的特征向量，则有 于是由,得 , 从而 而，所以有
