试卷代号:22006 国家开放大学2024年春季学期期末统一考试 经济数学基础12试题 2024年7月 注意事项: 1.将你的学号、姓名及考点名称填写在试题和答题纸的规定栏内。考试结束后,把试题和答
试卷代号:22006
国家开放大学2024年春季学期期末统一考试 经济数学基础12试题
2024年7月
注意事项:
1.将你的学号、姓名及考点名称填写在试题和答题纸的规定栏内。考试结束后,把试题和答题纸放在桌上。试题和答题纸均不得带出考场。待监考人员收完试题和答题纸后方可离开考场。
2.仔细阅读题目的说明,并按题目要求答题。所有答案必须写在答题纸的指定位置上,写在试题上的答案无效。
3.用蓝、黑圆珠笔或钢笔(含签字笔)答题,使用铅笔答题无效。
20240722006.pdf
附表 导数基本公式:
[
\begin{align*}
(c)'&=0 \\
\left(x^{\alpha}\right)'&=\alpha x^{\alpha-1} \\
\left(a^{x}\right)'&=a^{x} \ln a\ (a>0 且 a \neq 1) \\
\left(e^{x}\right)'&=e^{x} \\
\left(\log _{a} x\right)'&=\frac{1}{x \ln a}\ (a>0 且 a \neq 1) \\
(\ln x)'&=\frac{1}{x} \\
(\sin x)'&=\cos x \\
(\cos x)'&=-\sin x \\
(\tan x)'&=\frac{1}{\cos ^{2} x} \\
(\cot x)'&=-\frac{1}{\sin ^{2} x}
\end{align*}
]
积分基本公式:
[
\begin{align*}
\int 0 d x&=c \\
\int x^{\alpha} d x&=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+c\ (\alpha \neq-1) \\
\int a^{x} d x&=\frac{a^{x}}{\ln a}+c\ (a>0 且 a \neq 1) \\
\int e^{x} d x&=e^{x}+c \\
\int \frac{1}{x} d x&=\ln |x|+c \\
\int \sin x d x&=-\cos x+c \\
\int \cos x d x&=\sin x+c \\
\int \frac{1}{\cos ^{2} x} d x&=\tan x+c \\
\int \frac{1}{\sin ^{2} x} d x&=-\cot x+c
\end{align*}
]
一、单项选择题(每小题3分,本题共15分)
1.下列函数中,()是偶函数.
[
\begin{align*}
&A. y=x^2 \\
&B. y=2^x \\
&C. y=\ln x \\
&D. y=\tan x
\end{align*}
]
标准答案：A
2.若 $$f\left(\frac{1}{x}\right)=$$ 则f(x)=().
[
\begin{align*}
&A. \frac{1}{x} \\
&B. -\frac{1}{x} \\
&C. \frac{1}{x^{2}} \\
&D. -\frac{1}{x^{2}}
\end{align*}
]
试卷提供标准答案：D
注：经数学推导，令$$t=1/$$，则$$x=1/$$，可得$$f(t)=1/$$，即$$f(x)=1/$$，数学上正确答案为A，此处按试卷原参考答案标注
3.下列等式成立的是().
[
\begin{align*}
&A. \frac{1}{\sin ^{2} x} d x=d(\tan x) \\
&B. \frac{3^{x}}{\ln 3} d x=d\left(3^{x}\right) \\
&C. -\frac{1}{x} d x=d\left(\frac{1}{x^{2}}\right) \\
&D. \frac{1}{\sqrt{x}} d x=2 d(\sqrt{x})
\end{align*}
]
标准答案：D
4.设A,B均为 n 阶可逆矩阵,则下列等式成立的是().
[
\begin{align*}
&A. (A B)^{-1}=B^{-1} A^{-1} \\
&B. (A B)^{T}=A^{T} B^{T} \\
&C. |A+B|=|A|+|B| \\
&D. (A+B)^{-1}=A^{-1}+B^{-1}
\end{align*}
]
标准答案：A
5.若线性方程组 $$A X=$$ 只有唯一解,则线性方程组AX=O().
A.有非零解
B.只有零解
C.无解
D.解不能确定
标准答案：B
二、填空题(每小题3分,本题共15分)
$$\lim _{x \to \infty} \frac{x^{2}-2 x}{3 x^{2}+4}$$
标准答案：$$\boldsymbol{\frac{1}{3}$$
$$\int(\sin x)' d x$$
标准答案：$$\boldsymbol{\sin x+c$$
若 $$\int f(x) d x=F(x)+$$, 则 $$\int f(1-x) d x$$
标准答案：$$\boldsymbol{-F(1-x)+c$$
矩阵 $$A=\begin{bmatrix}0 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix$$ 的秩是
标准答案：2
n 元齐次线性方程组 $$A X=$$ 有非零解的充分必要条件是
标准答案：$$\boldsymbol{r(A)
三、微积分计算题(每小题10分,本题共20分)
11.设 $$y=x \sqrt{x}+e^{-x$$ ,求 $$y$$
标准答案及详细解答：
[
\begin{align*}
y'&=(x \sqrt{x})'+\left(e^{-x}\right)' \\
&=\left(x^{\frac{3}{2}}\right)'+e^{-x} \cdot(-x)' \\
&=\frac{3}{2} \sqrt{x}-e^{-x}
\end{align*}
]
12.计算定积分 $$\int_{1}^{e} x \ln x ~d $$
标准答案及详细解答：
采用分部积分法，设$$u=\ln $$，$$dv=x d$$，则$$du=\frac{1}{x}d$$，$$v=\frac{1}{2}x^$$
[
\begin{align*}
\int_{1}^{e} x \ln x dx&=\frac{1}{2} x^{2} \ln x \bigg|{1}^{e}-\frac{1}{2} \int{1}^{e} x dx \\
&=\frac{e^{2}}{2}-\frac{1}{4} x^{2}\bigg|_{1}^{e} \\
&=\frac{e^2}{2} - \left(\frac{e^2}{4} - \frac{1}{4}\right) \\
&=\frac{1}{4}\left(e^{2}+1\right)
\end{align*}
]
四、线性代数计算题(每小题15分,本题共30分)
13.解矩阵方程 $$\begin{bmatrix}2 & -2 \\ 3 & -4\end{bmatrix} X-X=\begin{bmatrix}3 & 4 \\ -1 & 6\end{bmatrix$$
标准答案及详细解答：
先对矩阵方程化简，提取公因子X，其中I为二阶单位矩阵：
[
\left(\begin{bmatrix}2 & -2 \\ 3 & -4\end{bmatrix}-I\right) X=\begin{bmatrix}3 & 4 \\ -1 & 6\end{bmatrix}
]
代入单位矩阵计算得：
[
\begin{bmatrix}1 & -2 \\ 3 & -5\end{bmatrix} X=\begin{bmatrix}3 & 4 \\ -1 & 6\end{bmatrix}
]
因此：
[
X=\begin{bmatrix}1 & -2 \\ 3 & -5\end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}3 & 4 \\ -1 & 6\end{bmatrix}
]
通过初等行变换求逆矩阵：
[
\begin{bmatrix}1 & -2 & 1 & 0 \\ 3 & -5 & 0 & 1 \end{bmatrix} \to\begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -3 & 1 \end{bmatrix} \to\begin{bmatrix}1 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 1 & -3 & 1\end{bmatrix}
]
可得 $$\begin{bmatrix}1 & -2 \\ 3 & -5\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}-5 & 2 \\ -3 & 1\end{bmatrix$$
最终计算矩阵乘法得：
[
X=\begin{bmatrix}-5 & 2 \\ -3 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3 & 4 \\ -1 & 6\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-17 & -8 \\ -10 & -6\end{bmatrix}
]
14.求λ为何值时,线性方程组 $$\begin{cases}x_{1}-x_{2}+4 x_{3}=2 \\ 2 x_{1}-x_{2}-x_{3}=1 \\ 3 x_{1}-2 x_{2}+3 x_{3}=\lambda\end{cases$$ 有解,并求一般解.
标准答案及详细解答：
对线性方程组的增广矩阵做初等行变换：
[
\overline{A}=\begin{bmatrix} 1 & -1 & 4 & 2 \\ 2 & -1 & -1 & 1 \\ 3 & -2 & 3 & \lambda \end{bmatrix} \to\begin{bmatrix} 1 & -1 & 4 & 2 \\ 0 & 1 & -9 & -3 \\ 0 & 1 & -9 & \lambda-6 \end{bmatrix} \to\begin{bmatrix} 1 & 0 & -5 & -1 \\ 0 & 1 & -9 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda-3 \end{bmatrix}
]
线性方程组有解的充要条件是系数矩阵的秩=增广矩阵的秩，因此需满足$$\lambda-3=$$，即λ=3时方程组有解。
此时方程组的同解方程组为：
[
\begin{cases}
x_1=5x_3-1 \\
x_2=9x_3-3
\end{cases}
]
其中$$x_$$为自由未知量，令$$x_3=$$（c为任意常数），得方程组的一般解：
[
\begin{cases}
x_1=5c-1 \\
x_2=9c-3 \\
x_3=c
\end{cases} \quad (c为任意常数)
]
五、应用题(本题20分)
15.某厂生产某种产品 q 件时的总成本函数为 $$C(q)=20+4 q+0.01 q^{2$$ (元),单位销售价格为 $$p=14-0.01 $$ (元/件),问产量为多少时可使利润达到最大?最大利润是多少?
标准答案及详细解答：
构建收入函数
收入=单价×销量，因此：
[
R(q)=p q=(14-0.01 q) q=14 q-0.01 q^{2}
]
构建利润函数
利润=收入-总成本，因此：
[
\begin{align*}
L(q) &= R(q)-C(q) \\
&=14 q-0.01 q^{2}-\left(20+4 q+0.01 q^{2}\right) \\
&=10 q-0.02 q^{2}-20
\end{align*}
]
求利润函数的极值点
对利润函数求一阶导数并令其为0，求解驻点：
[
L'(q)=10-0.04 q=0
]
解得唯一驻点 $$q=25$$
极值类型判定
对利润函数求二阶导数：
[
L''(q)=-0.04<0
]
因此$$q=25$$是利润函数$$L(q$$的极大值点，也是最大值点，即产量为250件时利润达到最大。
计算最大利润
将$$q=25$$代入利润函数：
[
L(250)=10\times250-0.02\times250^2-20=2500-1250-20=1230 \text{ (元)}
]
最终结论：产量为250件时可使利润达到最大，最大利润为1230元。
国家开放大学2024年春季学期期末统一考试 经济数学基础12试题
2024年7月
注意事项:
1.将你的学号、姓名及考点名称填写在试题和答题纸的规定栏内。考试结束后,把试题和答题纸放在桌上。试题和答题纸均不得带出考场。待监考人员收完试题和答题纸后方可离开考场。
2.仔细阅读题目的说明,并按题目要求答题。所有答案必须写在答题纸的指定位置上,写在试题上的答案无效。
3.用蓝、黑圆珠笔或钢笔(含签字笔)答题,使用铅笔答题无效。
20240722006.pdf
附表 导数基本公式:
[
\begin{align*}
(c)'&=0 \\
\left(x^{\alpha}\right)'&=\alpha x^{\alpha-1} \\
\left(a^{x}\right)'&=a^{x} \ln a\ (a>0 且 a \neq 1) \\
\left(e^{x}\right)'&=e^{x} \\
\left(\log _{a} x\right)'&=\frac{1}{x \ln a}\ (a>0 且 a \neq 1) \\
(\ln x)'&=\frac{1}{x} \\
(\sin x)'&=\cos x \\
(\cos x)'&=-\sin x \\
(\tan x)'&=\frac{1}{\cos ^{2} x} \\
(\cot x)'&=-\frac{1}{\sin ^{2} x}
\end{align*}
]
积分基本公式:
[
\begin{align*}
\int 0 d x&=c \\
\int x^{\alpha} d x&=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+c\ (\alpha \neq-1) \\
\int a^{x} d x&=\frac{a^{x}}{\ln a}+c\ (a>0 且 a \neq 1) \\
\int e^{x} d x&=e^{x}+c \\
\int \frac{1}{x} d x&=\ln |x|+c \\
\int \sin x d x&=-\cos x+c \\
\int \cos x d x&=\sin x+c \\
\int \frac{1}{\cos ^{2} x} d x&=\tan x+c \\
\int \frac{1}{\sin ^{2} x} d x&=-\cot x+c
\end{align*}
]
一、单项选择题(每小题3分,本题共15分)
1.下列函数中,()是偶函数.
[
\begin{align*}
&A. y=x^2 \\
&B. y=2^x \\
&C. y=\ln x \\
&D. y=\tan x
\end{align*}
]
标准答案：A
2.若 $$f\left(\frac{1}{x}\right)=$$ 则f(x)=().
[
\begin{align*}
&A. \frac{1}{x} \\
&B. -\frac{1}{x} \\
&C. \frac{1}{x^{2}} \\
&D. -\frac{1}{x^{2}}
\end{align*}
]
试卷提供标准答案：D
注：经数学推导，令$$t=1/$$，则$$x=1/$$，可得$$f(t)=1/$$，即$$f(x)=1/$$，数学上正确答案为A，此处按试卷原参考答案标注
3.下列等式成立的是().
[
\begin{align*}
&A. \frac{1}{\sin ^{2} x} d x=d(\tan x) \\
&B. \frac{3^{x}}{\ln 3} d x=d\left(3^{x}\right) \\
&C. -\frac{1}{x} d x=d\left(\frac{1}{x^{2}}\right) \\
&D. \frac{1}{\sqrt{x}} d x=2 d(\sqrt{x})
\end{align*}
]
标准答案：D
4.设A,B均为 n 阶可逆矩阵,则下列等式成立的是().
[
\begin{align*}
&A. (A B)^{-1}=B^{-1} A^{-1} \\
&B. (A B)^{T}=A^{T} B^{T} \\
&C. |A+B|=|A|+|B| \\
&D. (A+B)^{-1}=A^{-1}+B^{-1}
\end{align*}
]
标准答案：A
5.若线性方程组 $$A X=$$ 只有唯一解,则线性方程组AX=O().
A.有非零解
B.只有零解
C.无解
D.解不能确定
标准答案：B
二、填空题(每小题3分,本题共15分)
$$\lim _{x \to \infty} \frac{x^{2}-2 x}{3 x^{2}+4}$$
标准答案：$$\boldsymbol{\frac{1}{3}$$
$$\int(\sin x)' d x$$
标准答案：$$\boldsymbol{\sin x+c$$
若 $$\int f(x) d x=F(x)+$$, 则 $$\int f(1-x) d x$$
标准答案：$$\boldsymbol{-F(1-x)+c$$
矩阵 $$A=\begin{bmatrix}0 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix$$ 的秩是
标准答案：2
n 元齐次线性方程组 $$A X=$$ 有非零解的充分必要条件是
标准答案：$$\boldsymbol{r(A)
三、微积分计算题(每小题10分,本题共20分)
11.设 $$y=x \sqrt{x}+e^{-x$$ ,求 $$y$$
标准答案及详细解答：
[
\begin{align*}
y'&=(x \sqrt{x})'+\left(e^{-x}\right)' \\
&=\left(x^{\frac{3}{2}}\right)'+e^{-x} \cdot(-x)' \\
&=\frac{3}{2} \sqrt{x}-e^{-x}
\end{align*}
]
12.计算定积分 $$\int_{1}^{e} x \ln x ~d $$
标准答案及详细解答：
采用分部积分法，设$$u=\ln $$，$$dv=x d$$，则$$du=\frac{1}{x}d$$，$$v=\frac{1}{2}x^$$
[
\begin{align*}
\int_{1}^{e} x \ln x dx&=\frac{1}{2} x^{2} \ln x \bigg|{1}^{e}-\frac{1}{2} \int{1}^{e} x dx \\
&=\frac{e^{2}}{2}-\frac{1}{4} x^{2}\bigg|_{1}^{e} \\
&=\frac{e^2}{2} - \left(\frac{e^2}{4} - \frac{1}{4}\right) \\
&=\frac{1}{4}\left(e^{2}+1\right)
\end{align*}
]
四、线性代数计算题(每小题15分,本题共30分)
13.解矩阵方程 $$\begin{bmatrix}2 & -2 \\ 3 & -4\end{bmatrix} X-X=\begin{bmatrix}3 & 4 \\ -1 & 6\end{bmatrix$$
标准答案及详细解答：
先对矩阵方程化简，提取公因子X，其中I为二阶单位矩阵：
[
\left(\begin{bmatrix}2 & -2 \\ 3 & -4\end{bmatrix}-I\right) X=\begin{bmatrix}3 & 4 \\ -1 & 6\end{bmatrix}
]
代入单位矩阵计算得：
[
\begin{bmatrix}1 & -2 \\ 3 & -5\end{bmatrix} X=\begin{bmatrix}3 & 4 \\ -1 & 6\end{bmatrix}
]
因此：
[
X=\begin{bmatrix}1 & -2 \\ 3 & -5\end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}3 & 4 \\ -1 & 6\end{bmatrix}
]
通过初等行变换求逆矩阵：
[
\begin{bmatrix}1 & -2 & 1 & 0 \\ 3 & -5 & 0 & 1 \end{bmatrix} \to\begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -3 & 1 \end{bmatrix} \to\begin{bmatrix}1 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 1 & -3 & 1\end{bmatrix}
]
可得 $$\begin{bmatrix}1 & -2 \\ 3 & -5\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}-5 & 2 \\ -3 & 1\end{bmatrix$$
最终计算矩阵乘法得：
[
X=\begin{bmatrix}-5 & 2 \\ -3 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3 & 4 \\ -1 & 6\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-17 & -8 \\ -10 & -6\end{bmatrix}
]
14.求λ为何值时,线性方程组 $$\begin{cases}x_{1}-x_{2}+4 x_{3}=2 \\ 2 x_{1}-x_{2}-x_{3}=1 \\ 3 x_{1}-2 x_{2}+3 x_{3}=\lambda\end{cases$$ 有解,并求一般解.
标准答案及详细解答：
对线性方程组的增广矩阵做初等行变换：
[
\overline{A}=\begin{bmatrix} 1 & -1 & 4 & 2 \\ 2 & -1 & -1 & 1 \\ 3 & -2 & 3 & \lambda \end{bmatrix} \to\begin{bmatrix} 1 & -1 & 4 & 2 \\ 0 & 1 & -9 & -3 \\ 0 & 1 & -9 & \lambda-6 \end{bmatrix} \to\begin{bmatrix} 1 & 0 & -5 & -1 \\ 0 & 1 & -9 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda-3 \end{bmatrix}
]
线性方程组有解的充要条件是系数矩阵的秩=增广矩阵的秩，因此需满足$$\lambda-3=$$，即λ=3时方程组有解。
此时方程组的同解方程组为：
[
\begin{cases}
x_1=5x_3-1 \\
x_2=9x_3-3
\end{cases}
]
其中$$x_$$为自由未知量，令$$x_3=$$（c为任意常数），得方程组的一般解：
[
\begin{cases}
x_1=5c-1 \\
x_2=9c-3 \\
x_3=c
\end{cases} \quad (c为任意常数)
]
五、应用题(本题20分)
15.某厂生产某种产品 q 件时的总成本函数为 $$C(q)=20+4 q+0.01 q^{2$$ (元),单位销售价格为 $$p=14-0.01 $$ (元/件),问产量为多少时可使利润达到最大?最大利润是多少?
标准答案及详细解答：
构建收入函数
收入=单价×销量，因此：
[
R(q)=p q=(14-0.01 q) q=14 q-0.01 q^{2}
]
构建利润函数
利润=收入-总成本，因此：
[
\begin{align*}
L(q) &= R(q)-C(q) \\
&=14 q-0.01 q^{2}-\left(20+4 q+0.01 q^{2}\right) \\
&=10 q-0.02 q^{2}-20
\end{align*}
]
求利润函数的极值点
对利润函数求一阶导数并令其为0，求解驻点：
[
L'(q)=10-0.04 q=0
]
解得唯一驻点 $$q=25$$
极值类型判定
对利润函数求二阶导数：
[
L''(q)=-0.04<0
]
因此$$q=25$$是利润函数$$L(q$$的极大值点，也是最大值点，即产量为250件时利润达到最大。
计算最大利润
将$$q=25$$代入利润函数：
[
L(250)=10\times250-0.02\times250^2-20=2500-1250-20=1230 \text{ (元)}
]
最终结论：产量为250件时可使利润达到最大，最大利润为1230元。
