福师《实变函数》在线作业一 -0002 试卷总分:100 得分:0 一、 判断题 (共 37 道试题,共 74 分) 1.L积分比R积分更广泛，且具有优越性。 A.错误 B.正确 2.对任意可测集E，若f在E上可积，则f的积
福师《实变函数》在线作业一 -0002
试卷总分:100 得分:0
一、 判断题 (共 37 道试题,共 74 分)
1.L积分比R积分更广泛，且具有优越性。
A.错误
B.正确
2.对任意可测集E，若f在E上可积，则f的积分具有绝对连续性.
A.错误
B.正确
3.三大积分收敛定理包括Levi定理，Fatou定理和Lebesgue控制收敛定理。
A.错误
B.正确
4.三大积分收敛定理是实变函数论的基本结果。
A.错误
B.正确
5.可数集的测度必为零，反之也成立.
A.错误
B.正确
6.若f∈L1[a,b],则几乎所有的x属于[a,b]均是g的L点.
A.错误
B.正确
7.三大积分收敛定理是积分论的中心结果。
A.错误
B.正确
8.L积分下Newton-leibniz公式成立的充要条件是被积函数为绝对连续函数。
A.错误
B.正确
9.g的连续点是L点，但L点未必是连续点.
A.错误
B.正确
10.若f,g∈AC，则|f|,f+,f-,f+g,f-g,f/g(g不为0),f∧g,f∨g均属于AC。
A.错误
B.正确
11.不存在这样的函数f：在区间[a,b]上增且使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx<f(b)-f(a) .
A.错误
B.正确
12.增函数f在[a,b]上至多有可数个间断点，且只能有第一类间断点.
A.错误
B.正确
13.设f:R->R可测，f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)=ax
A.错误
B.正确
14.若A交B等于空集，则A可测时必B可测.
A.错误
B.正确
15.f在[a,b]上为增函数，则f的导数f'∈L1[a,b].
A.错误
B.正确
16.f在E上可积的充要条件是级数 M[E(|f|>=n)]之和收敛.
A.错误
B.正确
17.若f_n测度收敛于f，则1/f_n也测度收敛于1/f.
A.错误
B.正确
18.设f是区间[a,b]上的有界实函数，则f在[a,b]上R可积，当且仅当f在[a,b]上几乎处处连续.
A.错误
B.正确
19.零测度集的任何子集都是可测集.
A.错误
B.正确
20.R中任一非空开集是可数个互不相交的开区间之并.
A.错误
B.正确
21.有界可测集的测度为有限数，无界可测集的测度为+∞
A.错误
B.正确
22.若f∈BV,则f有界。
A.错误
B.正确
23.增函数f在[a,b]上几乎处处可微。
A.错误
B.正确
24.若f,g∈BV，则f+g,f-g,fg均属于BV。
A.错误
B.正确
25.存在某区间[a,b]上增函数f，使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx<f(b)-f(a) .
A.错误
B.正确
26.积分的四条基本性质构成整个积分论的基础，而其导出性质是基本性质的逻辑推论。
A.错误
B.正确
27.集合A可测等价于该集合的特征函数X_A可测
A.错误
B.正确
28.f∈BV，则f至多有可数个间断点，而且只能有第一类间断点.
A.错误
B.正确
29.有限覆盖定理的内容是：若U是R^n中紧集F的开覆盖，则可以从U中取出有限子覆盖.
A.错误
B.正确
30.若f可测，则|f|可测，反之也成立.
A.错误
B.正确
31.积分的引进分为三个递进的步骤：非负简单函数的积分，非负可测函数的积分，一般可测函数的积分.
A.错误
B.正确
32.利用有界变差函数可表示为两个增函数之差，可将关于单调函数的一些结论转移到有界变差函数：几乎处处可微而且导函数可积。
A.错误
B.正确
33.若f∈C1[a,b]（连续可微）,则f∈Lip[a,b]，f∈AC[a,b].
A.错误
B.正确
34.若F是R中一紧集(即有界闭集)且F不等于R，则F是从一闭区间中挖去可数个互不相交的开区间后所得之集.
A.错误
B.正确
35.若f广义R可积且f不变号，则f L可积.
A.错误
B.正确
36.若f,g∈BV，则f/g(g不为0)属于BV。
A.错误
B.正确
37.闭集套定理的内容是：{F_k}是R^n中非空有界闭集的降列，则F_k对所有k取交集非空.
A.错误
B.正确
二、 单选题 (共 5 道试题,共 10 分)
1.若A为R^n中一疏集，则（ ）
A.Ac为稠集
B.A为开集
C.A为孤立点集
D.A不完备
2.fn∈L(E),则fn->0,a.e.是∫Efndx->0（ ）
A.充分条件
B.必要条件
C.充要条件
D.非充分非必要条件
3.下列关系式中不成立的是（ ）
A.f(∪Ai)=∪f(Ai)
B.f∩(Ai)=f(∩Ai)
C.(A∩B)0=A0∩B0
D.(∪Ai)c=∩(Aic)
4.开集减去闭集其差集是（ ）
A.闭集
B.开集
C.非开非闭集
D.既开既闭集
5.在（ ）条件下，E上的任何广义实函数f(x)都可测.
A.mE=0
B.0<mE<+∞
C.mE=+∞
D.0<=mE<=+∞
三、 多选题 (共 8 道试题,共 16 分)
1.若f,g是有界变差函数，则（ ）
A.f+g有界变差函数
B.fg有界变差函数
C.f/g有界变差函数
D.max(f,g)有界变差函数
2.若f∈BV[a,b]，则（ ）
A.f为有界函数
B.Vax(f)为增函数
C.对任意c有Vab(f)=Vac(f)+Vcb(f)
D.f至多有可数个第一类间断点
3.设f为[a,b]上减函数，则f为（ ）
A.有界函数
B.可测函数
C.有界变差函数
D.绝对连续函数
4.设fn与gn在X上分别测度收敛于f与g，则（ ）
A.fn测度收敛于|f|
B.afn+bgn测度收敛于af+bg
C.(fn)^2测度收敛于f^2
D.fngn测度收敛于fg
5.f(x)=1,x∈(-∞，+∞),则f(x)在(-∞，+∞)上
A.有L积分值
B.广义R可积
C.L可积
D.积分具有绝对连续性
6.在R上定义f，当x为有理数时f(x)=1，当x为无理数时f(x)=0，则（ ）
A.f在R上处处不连续
B.f在R上为可测函数
C.f几乎处处连续
D.f不是可测函数
7.若f不可测，g可测，则下列正确的是（ ）
A.f+g不可测
B.fg不可测
C.g^2可测
D.|g|可测
8.若0<=g<=f且f可积，则（ ）
A.g可积
B.g可测
C.g<∞，a.e.
D.当g可测时g必可积
