福师《实变函数》在线作业二 -0003 试卷总分:100 得分:0 一、 判断题 (共 37 道试题,共 74 分) 1.若f,gBV，则f/g(g不为0)属于BV。 A.错误 B.正确 2.有限覆盖定理的内容是：若U是R^n中紧集F的开覆
福师《实变函数》在线作业二 -0003
试卷总分:100 得分:0
一、 判断题 (共 37 道试题,共 74 分)
1.若f,g∈BV，则f/g(g不为0)属于BV。
A.错误
B.正确
2.有限覆盖定理的内容是：若U是R^n中紧集F的开覆盖，则可以从U中取出有限子覆盖.
A.错误
B.正确
3.若f∈L1[a,b],则几乎所有的x属于[a,b]均是g的L点.
A.错误
B.正确
4.存在[0,1]上的有界可测函数，使它不与任何连续函数几乎处处相等．
A.错误
B.正确
5.可数集的测度必为零，反之也成立.
A.错误
B.正确
6.设f为[a,b]上增函数，则存在分解f=g+h，其中g是上一个连续增函数，h是f的跳跃函数.
A.错误
B.正确
7.若f,g是增函数，则f+g,f-g,fg也是增函数。
A.错误
B.正确
8.若f,g∈BV，则|f|,f+,f-,f∧g,f∨g属于BV。
A.错误
B.正确
9.若曲线L由参数方程x=f(t),y=g(t),z=h(t)给定，则L为可度曲线等价于f,h,g∈BV.
A.错误
B.正确
10.对R^n中任意点集E，E\E'必为可测集.
A.错误
B.正确
11.若F是R中一紧集(即有界闭集)且F不等于R，则F是从一闭区间中挖去可数个互不相交的开区间后所得之集.
A.错误
B.正确
12.积分的引进分为三个递进的步骤：非负简单函数的积分，非负可测函数的积分，一般可测函数的积分.
A.错误
B.正确
13.增函数f在[a,b]上几乎处处可微。
A.错误
B.正确
14.无论Riemann积分还是Lebesgue积分，只要|f|可积，则f必可积.
A.错误
B.正确
15.一致收敛的有界变差函数序列的极限函数也是有界变差函数.
A.错误
B.正确
16.不存在这样的函数f：在区间[a,b]上增且使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx<f(b)-f(a) .
A.错误
B.正确
17.函数f≡C∈[-∞,∞],则f可测。
A.错误
B.正确
18.一致收敛的绝对连续函数序列的极限函数也是绝对连续函数.
A.错误
B.正确
19.若f,g∈BV，|g|>c>0,则f/g属于BV。
A.错误
B.正确
20.L积分下Newton-leibniz公式成立的充要条件是被积函数为绝对连续函数。
A.错误
B.正确
21.若f∈AC，则f是连续的有界变差函数，即f∈C∩BV.
A.错误
B.正确
22.有界可测函数f在区间[a,b]上L可积的充要条件是f在[a,b]上几乎处处连续.
A.错误
B.正确
23.若对任意有理数r,X(f=r)都可测，则f为可测函数.
A.错误
B.正确
24.f在[a,b]上为增函数，则f的导数f'∈L1[a,b].
A.错误
B.正确
25.闭集套定理的内容是：{F_k}是R^n中非空有界闭集的降列，则F_k对所有k取交集非空.
A.错误
B.正确
26.若A交B等于空集，则A可测时必B可测.
A.错误
B.正确
27.函数f在区间[a,b]上Ｒ可积的充要条件是f在区间[a,b]上的不连续点集为零测度集.
A.错误
B.正确
28.有界可测集的测度为有限数，无界可测集的测度为+∞
A.错误
B.正确
29.R中任一非空开集是可数个互不相交的开区间之并.
A.错误
B.正确
30.对任意可测集E，若f在E上可积，则f的积分具有绝对连续性.
A.错误
B.正确
31.测度为零的集称为零测集.
A.错误
B.正确
32.利用有界变差函数可表示为两个增函数之差，可将关于单调函数的一些结论转移到有界变差函数：几乎处处可微而且导函数可积。
A.错误
B.正确
33.若f_n测度收敛于f，g连续，则g(f_n)也测度收敛于g(f).
A.错误
B.正确
34.积分的四条基本性质构成整个积分论的基础，而其导出性质是基本性质的逻辑推论。
A.错误
B.正确
35.若f,g∈BV，则f+g,f-g,fg均属于BV。
A.错误
B.正确
36.若f_n测度收敛于f，则1/f_n也测度收敛于1/f.
A.错误
B.正确
37.f为[a,b]上减函数，则f'(x)在[a,b]可积且其积分值∫fdx≤f(b)-f(a) .
A.错误
B.正确
二、 单选题 (共 5 道试题,共 10 分)
1.若A为R^n中一疏集，则（ ）
A.Ac为稠集
B.A为开集
C.A为孤立点集
D.A不完备
2.有限个可数集的乘积集是（ ）
A.有限集
B.可数集
C.有连续统势的集
D.基数为2^c的集
3.若|A|=|B|,|C|=|D|,则
A.|A∪C|=|B∪D|
B.|A∩C|=|B∩D|
C.|A\C|=|B\D|
D.当A或C为无限集时，|A∪C|=|B∪D|
4.在（ ）条件下，E上的任何广义实函数f(x)都可测.
A.mE=0
B.0<mE<+∞
C.mE=+∞
D.0<=mE<=+∞
5.设g(x)是[0,1]上的有界变差函数，则f(x)=sinx-V0x(g)是[0,1]上的
A.连续函数
B.单调函数
C.有界变差函数
D.绝对连续函数
三、 多选题 (共 8 道试题,共 16 分)
1.设E1，E2是R^n中测度有限的可测集，则
A.m(E1∪E2)+m(E1∩E2)=mE1+mE2
B.若E1包含于E2,mE1<=mE2
C.若E1包含于E2,m(E2\E1)=mE2-mE1
2.A，B是两个集合，则下列正确的是（ ）
A.f^-1(f（A）)=A
B.f^-1(f（A）)包含A
C.f(f^-1（A）)=A
D.f(A\B)包含f(A)\f(B)
3.在R上定义f，当x为有理数时f(x)=1，当x为无理数时f(x)=0，则（ ）
A.f在R上处处不连续
B.f在R上为可测函数
C.f几乎处处连续
D.f不是可测函数
4.若f∈BV[a,b]，则（ ）
A.f为有界函数
B.Vax(f)为增函数
C.对任意c有Vab(f)=Vac(f)+Vcb(f)
D.f至多有可数个第一类间断点
5.若A 和B都是R中开集，且A是B的真子集，则（ ）
A.m(A)<m(B)
B.m(A)<=m(B)
C.m(B\A)=m(A)
D.m(B)=m(A)+m(B\A)
6.若f,g是有界变差函数，则（ ）
A.f+g有界变差函数
B.fg有界变差函数
C.f/g有界变差函数
D.max(f,g)有界变差函数
7.f(x)=sinx/x,x∈(0,+∞),则f(x)在(0,+∞)上
A.广义R可积
B.不是广义R可积
C.L可积
D.不是L可积
8.若f不可测，g可测，则下列正确的是（ ）
A.f+g不可测
B.fg不可测
C.g^2可测
D.|g|可测
