福师《实变函数》在线作业一-0005 试卷总分:100 得分:0 一、 判断题 (共 37 道试题,共 74 分) 1.三大积分收敛定理是积分论的中心结果。 A.错误 B.正确 2.测度收敛的L可积函数列，其极限函数
福师《实变函数》在线作业一-0005
试卷总分:100 得分:0
一、 判断题 (共 37 道试题,共 74 分)
1.三大积分收敛定理是积分论的中心结果。
A.错误
B.正确
2.测度收敛的L可积函数列，其极限函数L可积.
A.错误
B.正确
3.若f∈BV,则f有界。
A.错误
B.正确
4.一致收敛的绝对连续函数序列的极限函数也是绝对连续函数.
A.错误
B.正确
5.g的连续点是L点，但L点未必是连续点.
A.错误
B.正确
6.存在某区间[a,b]上增函数f，使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx<f(b)-f(a) .
A.错误
B.正确
7.若对任意有理数r,X(f=r)都可测，则f为可测函数.
A.错误
B.正确
8.绝对连续函数是一类特殊的连续有界变差函数。
A.错误
B.正确
9.集合A可测等价于该集合的特征函数X_A可测
A.错误
B.正确
10.若f_n测度收敛于f，则1/f_n也测度收敛于1/f.
A.错误
B.正确
11.若f广义R可积且f不变号，则f L可积.
A.错误
B.正确
12.存在[0,1]上的有界可测函数，使它不与任何连续函数几乎处处相等．
A.错误
B.正确
13.连续函数和单调函数都是有界变差函数.
A.错误
B.正确
14.若f,g∈BV，则f+g,f-g,fg均属于BV。
A.错误
B.正确
15.利用有界变差函数可表示为两个增函数之差，可将关于单调函数的一些结论转移到有界变差函数：几乎处处可微而且导函数可积。
A.错误
B.正确
16.R中任一非空开集是可数个互不相交的开区间之并.
A.错误
B.正确
17.f∈BV，则f几乎处处可微，且f'∈L1[a,b].
A.错误
B.正确
18.若f∈AC，则f是连续的有界变差函数，即f∈C∩BV.
A.错误
B.正确
19.一致收敛的有界变差函数序列的极限函数也是有界变差函数.
A.错误
B.正确
20.f,g∈M(X),则fg∈M(X).
A.错误
B.正确
21.若f可测，则|f|可测，反之也成立.
A.错误
B.正确
22.L积分比R积分更广泛，且具有优越性。
A.错误
B.正确
23.若f_n测度收敛于f，g连续，则g(f_n)也测度收敛于g(f).
A.错误
B.正确
24.设f是区间[a,b]上的有界实函数，则f在[a,b]上R可积，当且仅当f在[a,b]上几乎处处连续.
A.错误
B.正确
25.零测度集的任何子集都是可测集.
A.错误
B.正确
26.闭集套定理的内容是：{F_k}是R^n中非空有界闭集的降列，则F_k对所有k取交集非空.
A.错误
B.正确
27.增函数f在[a,b]上至多有可数个间断点，且只能有第一类间断点.
A.错误
B.正确
28.若f有界变差且g满足Lip条件，则复合函数g(f(x))也是有界变差.
A.错误
B.正确
29.可数个G_delta集之交和有限个G_delta集之并仍是G_delta集，但可数个G_delta集之并未必仍是G_delta集
A.错误
B.正确
30.测度为零的集称为零测集.
A.错误
B.正确
31.若f∈BV当且仅当f是两个增函数之差。
A.错误
B.正确
32.利用积分的sigma-可加性质(第二条款)可以证明绝对收敛级数各项可以任意重排。
A.错误
B.正确
33.L积分下Newton-leibniz公式成立的充要条件是被积函数为绝对连续函数。
A.错误
B.正确
34.若f,g∈AC，则|f|,f+,f-,f+g,f-g,f/g(g不为0),f∧g,f∨g均属于AC。
A.错误
B.正确
35.若F是R中一紧集(即有界闭集)且F不等于R，则F是从一闭区间中挖去可数个互不相交的开区间后所得之集.
A.错误
B.正确
36.无论Riemann积分还是Lebesgue积分，只要|f|可积，则f必可积.
A.错误
B.正确
37.f可积的必要条件:f几乎处处有限，且集X(f≠0)有sigma-有限测度。
A.错误
B.正确
二、 单选题 (共 5 道试题,共 10 分)
1.下列关系式中不成立的是（ ）
A.f(∪Ai)=∪f(Ai)
B.f∩(Ai)=f(∩Ai)
C.(A∩B)0=A0∩B0
D.(∪Ai)c=∩(Aic)
2.开集减去闭集其差集是（ ）
A.闭集
B.开集
C.非开非闭集
D.既开既闭集
3.在（ ）条件下，E上的任何广义实函数f(x)都可测.
A.mE=0
B.0<mE<+∞
C.mE=+∞
D.0<=mE<=+∞
4.fn∈L(E),则fn->0,a.e.是∫Efndx->0（ ）
A.充分条件
B.必要条件
C.充要条件
D.非充分非必要条件
5.若f∈L(X),则
A.f在X上几乎处处连续
B.存在g∈L(X)使得|f|<=g
C.若∫Xfdu=0,则f=0,a.e.
三、 多选题 (共 8 道试题,共 16 分)
1.在R上定义f，当x为有理数时f(x)=1，当x为无理数时f(x)=0，则（ ）
A.f在R上处处不连续
B.f在R上为可测函数
C.f几乎处处连续
D.f不是可测函数
2.设f为[a,b]上增函数，则f为（ ）
A.几乎处处可微
B.L可积
C.f'可积
D.区间[a,b]上积分值∫f'(x)dx=f(b)-f(a)
3.f(x)=1,x∈(-∞，+∞),则f(x)在(-∞，+∞)上
A.有L积分值
B.广义R可积
C.L可积
D.积分具有绝对连续性
4.A，B是两个集合，则下列正确的是（ ）
A.f^-1(f（A）)=A
B.f^-1(f（A）)包含A
C.f(f^-1（A）)=A
D.f(A\B)包含f(A)\f(B)
5.若f不可测，g可测，则下列正确的是（ ）
A.f+g不可测
B.fg不可测
C.g^2可测
D.|g|可测
6.设f为[a,b]上减函数，则f为（ ）
A.有界函数
B.可测函数
C.有界变差函数
D.绝对连续函数
7.设E为R^n中的一个不可测集，则其特征函数是
A.是L可测函数
B.不是L可测函数
C.有界函数
D.连续函数
8.设fn与gn在X上分别测度收敛于f与g，则（ ）
A.fn测度收敛于|f|
B.afn+bgn测度收敛于af+bg
C.(fn)^2测度收敛于f^2
D.fngn测度收敛于fg
